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约15900字。

　　2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题
　　整理人：徐金勇（仪征市大仪中学）
　　2011.7.6
　　（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线 交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
　　⑴求b的值．
　　⑵求x1•x2的值
　　⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
　　⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
　　答案：24．解：⑴b=1⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根与系数关系”得 =－4
　　⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
　　由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．
　　⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
　　直线y=－1即为直线M1N1．
　　如图，设N点横坐标为m，则
　　（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙ 与⊙ 相交于 、 两点，点 在⊙ 上， 为⊙ 上一点（不与 ， ， 重合），直线 与⊙ 交于另一点 。
　　（1）如图（8），若 是⊙ 的直径，求证： ；
　　（2）如图(9)，若 是⊙ 外一点，求证： ；
　　（3）如图（10），若 是⊙ 内一点，判断（2）中的结论是否成立。
　　答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接 ，
　　∵ 为⊙ 的直径      ∴
　　∴ 为⊙ 的直径      ∴ 在 上
　　又 ， 为 的中点
　　∴△ 是以 为底边的等腰三角形
　　∴  （3分）
　　（2）如图（二），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连
　　∵四边形 内接于⊙     ∴
　　又∵                 ∴
　　∴
　　又 为⊙ 的直径           ∴
　　∴  （3分）
　　（3）如图（三），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连
　　∵          又
　　∴ 
　　∴             又
　　∴  （3分）
　　（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数
　　（1）当 时，函数值 随 的增大而减小，求 的取值范围。
　　（2）以抛物线 的顶点 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 （ ， 两点在抛物线上），请问：△ 的面积是与 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
　　（3）若抛物线 与 轴交点的横坐标均为整数，求整数 的值。
　　答案：25．（10分）解：（1）∵
　　∴由题意得，  （3分）
　　（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知 轴，设抛物线的对称轴与 交于点 ，则 。设
　　∴
　　又
　　∴         ∴
　　∴ ，
　　∴ 定值 （3分）