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约4510字。

　　4.6　梯　　形
　　考纲解读
　　考点内容 测评要求 中考指数
　　梯形的概念和性质 Ⅲ级掌握 ★★
　　等腰梯形的性质和判定 Ⅰ级了解 ★★
　　3年中考
　　2014年全国中考真题演练
　　一、 选择题
　　1. (2014•山东烟台)如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=3,梯形中位线EF与对角线BD相交于点M,且BD⊥CD,则MF的长为(　　).
　　(第1题)
　　A. 1.5 B. 3
　　C. 3.5 D. 4.5
　　2. (2014•台湾)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E点在BC上,且AE⊥BC.若AB=10,BE=8,DE=6,则AD的长度为(　　).
　　(第2题)
　　A. 8 B. 9
　　C. 6 D. 6
　　3. (2014•湖北襄阳)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,∠C=80°,则∠A等于(　　).
　　A. 80° B. 90°
　　C. 100° D. 110°
　　(第3题)
　　(第4题)
　　4. (2014•四川泸州)如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是(　　).
　　5. (2014•广东深圳)如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,AD=,E为CD中点,连接AE,且AE=2,∠DAE=30°,作AF⊥AE交BC于点F,则BF等于(　　).
　　(第5题)
　　6. (2014•广西贺州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠B=60°,若AD=3,则梯形ABCD的周长为(　　).
　　(第6题)
　　(第7题)
　　7. (2014•广西钦州)如图,等腰梯形ABCD的对角线长为13,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长是(　　).
　　A. 13 B. 26
　　C. 36 D. 39
　　二、 填空题
　　8. (2014•广西玉林)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠A=120°,AD=2,BD平分∠ABC,则梯形ABCD的周长是　　　　.
　　(第8题)
　　(第9题)
　　9. (2014•宁夏)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=2,BC=5,∠BAD的平分线交BC于点E,且AE∥CD,则四边形ABCD的面积为　　　　.
　　10. (2014•黑龙江龙东地区)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,不添加辅助线,梯形满足　　　　条件时,有MB=MC(只填一个即可).
　　(第10题)
　　(第11题)
　　11. (2014•湖北黄石)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=45°,AB=1,CD=3,BE∥AD交CD于E,则△BCE的周长为　　　　.
　　12. (2014•山东青岛)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=2,∠BCD=60°,对角线AC平分∠BCD,E,F分别是底边AD,BC的中点,连接EF.点P是EF上的任意一点,连接PA,PB,则PA+PB的最小值为　　　　.
　　(第12题)
　　三、 解答题
　　13. (2014•四川巴中)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
　　(第13题)
　　14. (2014•江西)已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画图.
　　(1)在图(1)中画一个与梯形ABCD面积相等,且以CD为边的三角形;
　　(2)在图(2)中画一个与梯形ABCD面积相等,且以AB为边的平行四边形.
　　(1)
　　(2)
　　(第14题)
　　2013~2012年全国中考真题演练
　　一、 选择题
　　1. (2013•四川巴中)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,且EF=6,则AD+BC的值是(　　).
　　A. 9 B. 10.5
　　C. 12 D. 15
　　(第1题)
　　(第2题)
　　2. (2013•湖南怀化)如图,已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°,高AE=1,上底AD=1,则其面积为(　　).
　　A. 4 B. 2
　　C. 1 D. 2
　　3. (2013•上海)在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等腰梯形的是(　　).
　　A. ∠BDC=∠BCD
　　B. ∠ABC=∠DAB
　　C. ∠ADB=∠DAC
　　D. ∠AOB=∠BOC
　　4. (2012•山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形ABCD的下底在x轴上,且点B坐标为(4,0),点D坐标为(0,3),则AC长为(　　).
　　(第4题)
　　A. 4 B. 5
　　C. 6 D. 不能确定
　　5. (2012•广东广州)如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是(　　).
　　(第5题)
　　A. 26 B. 25
　　C. 21 D. 20
　　二、 填空题
　　(第6题)
　　7. (2013•陕西省)如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,∠A+∠B=90°,若AB=10,AD=4,DC=5,则梯形ABCD的面积为　　　　.
　　(第7题)
　　8. (2013•湖北黄冈)如图,在等腰梯形ABCD中,AC⊥BD,AC=6cm,则等腰梯形ABCD的面积为　　　　cm2.
　　(第8题)
　　9. (2012•四川巴中)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点,且DE∥AB,则∠BCD的度数是　　　　.
　　(第9题)
　　10. (2012•贵州黔西南州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,△AOD的面积为3,则△BOC的面积为　　　　.
　　(第10题)
　　三、 解答题
　　11. (2013•广西柳州)如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,连接AC,BD.在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC.
　　(1)四边形ABEC一定是什么四边形?
　　(2)证明你在(1)中所得出的结论.
　　(第11题)
　　12. (2013•广西贵港)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD交BC于点G,点E,F分别为AG,CD的中点,连接DE,FG.
　　(1)求证:四边形DEGF是平行四边形;
　　(2)当点G是BC的中点时,求证:四边形DEGF是菱形.
　　(第12题)
　　13. (2012•湖南怀化)如图,在等腰梯形ABCD中,点E为底边BC的中点,连接AE,DE.求证:AE=DE.
　　(第13题)
　　2年模拟
　　一、 选择题
　　1. (2014•贵州毕节模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是(　　).
　　A. 40 B. 45
　　C. 50 D. 60
　　(第1题)
　　(第2题)
　　2. (2014•湖北襄阳模拟)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=4,连接BD,∠BAD的平分线交BD于 点E,且AE∥CD,则AD的长为(　　).
　　A. 1 B. 2
　　C. 3 D. 4
　　3. (2012•福建福州模拟)下列四边形中,对角线不可能相等的是(　　).
　　A. 直角梯形 B. 正方形
　　C. 等腰梯形 D. 长方形
　　4. (2012•山东德州四模)若等腰梯形的上、下底边分别为1和3,一条对角线长为4,则这个梯形的面积是(　　).
　　二、 填空题
　　5. (2014•海南定安县模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DE∥CB,梯形的周长为28,△ADE周长为20,则DC=　　　　.
　　(第5题)
　　6. (2012•上海黄浦二模)已知梯形的上底长是5cm,中位线长是7cm,那么下底长是　　　　cm.
　　三、 解答题
　　7. (2014•广西南宁五模)如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上一点,AD=BE,F是CD中点且 EF⊥CD.求证:
　　(1)△ADE ≌ △BEC;
　　(2)△CED是直角三角形.
　　(第7题)
　　8. (2012•山东德州二模)(1)填空:如图(1),在正方形PQRS中,已知点M,N分别在边QR,RS上,且QM=RN,连接PN,SM相交于点O,则∠POM=　　　　度;
　　(2)如图(2),在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,BC=CD,∠ABC=60°. 以此为部分条件,构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.
　　(第8题)
　　1年预测
　　1. 如图,将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开,拼成一个新的图形,这个新的图形可以是下列图形中的(　　).
　　A. 三角形 B. 平行四边形
　　C. 矩形 D. 正方形
　　(第1题)
　　(第2题)
　　2. 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,以下四个结论:①∠ABC=∠DCB;②OA=OD;③∠BCD=∠BDC;④S△AOB=S△DOC,其中正确的是(　　).
　　A. ①② B. ①④
　　C. ②③④ D. ①②④
　　3. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD,AD=6,BC=8,则梯形的高为　　　　.
　　(第3题)
　　(第4题)
　　4. 如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为　　　　.
　　5. 如图(1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形.对于图(1)中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论:　　　　.
　　(第5题)
　　6. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD=CD,∠BDC=90°,AD=3,BC=8,求AB的长.
　　(第6题)
　　7. 如图,已知三角形ABC中,AB=AC,BD,CE是高,求证:四边形BCDE是等腰梯形.
　　(第7题)
　　参考答案与解析
　　3年中考
　　[2014年全国中考真题演练]
　　1. B　[解析]根据等腰梯形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,∠ABD与∠ADB的关系,根据等腰三角形的性质,可得∠ABD与∠ADB的关系,根据直角三角形的性质,可得BC的长,再根据三角形的中位线,可得答案.
　　3. C　[解析]∵　DE=DC,∠C=80°,
　　∴　∠DEC=80°.
　　∵　AB∥DE,
　　∴　∠B=∠DEC=80°.
　　∵　AD∥BC,
　　∴　∠A=180°-80°=100°.
　　4. C　[解析]本题主要考查了平行线分线段成比例,全等三角形及角平分线的知识,解题的关键是找出线段之间的关系,CB=AB,AB=BC再利用比例式求解.
　　5. D　[解析]延长AE交BC的延长线于点G,根据线段中点的定义可得CE=DE,根据两直线平行,内错角相等可得到∠DAE=∠G=30°,然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=AD,AE=EG,然后解直角三角形求出AF,GF,过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC于点N,根据等腰梯形的性质可得BM=CN,再解直角三角形求出MG,然后求出CN,MF,然后根据BF=BM-MF计算即可得解.
　　6. D　[解析]过点A作AE∥CD,交BC于点E,可得出四边形ADCE是平行四边形,再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°,由三角形外角的定义求出∠EAC的度数,故可得出四边形ADEC是菱形,再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形,由此可得出结论.
　　7. B　[解析]首先连接AC,BD,由点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,可得EH,FG,EF,GH是三角形的中位线,然后由中位线的性质求得答案.
　　8. 7+　[解析]根据题意得出AB=AD,进而得出BD的长,再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半,进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长,即可得出梯形ABCD的周长.
　　(第9题)
　　10. AB=DC(或 ∠ABC=∠DCB,∠A=∠D等)
　　11. 2+2　[解析]首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°,进而得到∠EBC=90°,然后证明四边形ABED是平行四边形,可得AB=DE=1,再得EC=2,然后再根据勾股定理可得BE长,进而得到△BCE的周长.
　　12.  　[解析]∵　E,F分别是底边AD,BC的中点,四边形ABCD是等腰梯形,
　　∴　点B关于EF的对称点为点C.
　　∴　AC即为PA+PB的最小值.
　　∵　∠BCD=60°,对角线AC平分∠BCD,
　　∴　∠ABC=60°,∠BCA=30°.
　　∴　∠BAC=90°.
　　∵　AD=2,
　　∴　PA+PB的最小值=AB•tan60°=
　　13. 作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则四边形BCFE是矩形,
　　(第13题)
　　由题意,得BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1∶2.5,
　　在Rt△ABE中,BE=20米, 
　　∴　AE=50米.
　　故坝底AD的长度约为90.6米.
　　14. 
　　(1)
　　(2)
　　(第14题)
　　[2013~2012年全国中考真题演练]
　　1. C　[解析]根据梯形中位线定理知:AD+BC=2EF=12.
　　3. C　[解析]∵　∠ADB=∠DAC,
　　∴　OA=OD.
　　∵　∠ACB=∠DBC,
　　∴　OB=OC.
　　∴　AC=BD.
　　∴　对角线相等的梯形是等腰梯形.
　　4. B　[解析]根据题意可得OB=4,OD=3,从而利用勾股定理可求出BD,再由等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值.
　　5. C　[解析]梯形ABCD的周长=(5+4)×2+3=21.
　　6. 10　[解析]过点D作AB的平行线交BC于E,则AD=BE,△EDC是直角三角形,且∠DEC=30°,  ,所以EC=6,所以BC=BE+EC=10.
　　7. 18　[解析]过点C作CE∥AD交AB于点E,则△EBC是直角三角形,利用直角三角形面积可以求出梯形的高为 .
　　8. 18　[解析]过点B作BE∥AC交DC于点E,则△EBD是直角三角形,且这个直角三角形面积等于梯形的面积,求出这个直角三角形面积为18.
　　9. 60°　[解析]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,再利用等腰梯形同一底边上的角相等可判断△DEC是等边三角形.
　　10. 27　[解析]△AOD∽△BOC,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.
　　11. (1)平行四边形
　　(2)∵　四边形ABCD为等腰梯形,
　　∴　AB=CD,AC=BD.
　　∵　△DBC沿BC翻折得到△EBC,
　　∴　DC=CE,BD=BE.
　　∴　AB=CE,AC=BE.
　　∴　四边形ABEC是平行四边形.
　　12. (1)∵　AD∥BC,AG∥CD,
　　∴　四边形AGCD是平行四边形.
　　∴　AG=CD.
　　∵　点E,F分别为AG,CD的中点,
　　∴　DF=GE.
　　又　DF∥GE,
　　∴　四边形DEGF是平行四边形.
　　(2)连接DG.
　　∵　点G是BC的中点,
　　∵　四边形ADCG是平行四边形,
　　∴　AD=CG.
　　∴　AD=BG.
　　又　AD∥BG,
　　∴　四边形ABGD是平行四边形.
　　∵　∠B=90°,
　　∴　四边形ABGD是矩形.
　　∴　∠ADG=90°.
　　在Rt△ADG中,
　　∵　点E是AG的中点,
　　∴　四边形DEGF是菱形.
　　13. ∵　四边形ABCD是等腰梯形,
　　∴　AB=DC,∠B=∠C.
　　又　E为底边BC的中点,
　　∴　BE=CE.
　　∴　△ABE≌△DCE.
　　∴　AE=DE.
　　2年预测
　　1. C　[解析]∵　∠DBC=∠BDC=∠ABD=25°,
　　∴　∠ABC=∠DBC+∠ABD=50°.
　　∴　∠BAD=∠ABC=50°.
　　2. A　[解析]如图, 根据已知条件可得出BF=AB=3,
　　∴　AD=CF=BC-BF=4-3=1.
　　(第2题)
　　3. A　[解析]只有直角梯形对角线不可能相等,其余的均有可能.
　　6. 9　[解析]根据梯形中位线定理,知上底的长+下底的长=2×中位线长.
　　7. ∵　F是CD中点且EF⊥CD,
　　∴　CE=DE.
　　∵　AD∥BC,∠A=90°,
　　∴　∠B=∠A=90°.
　　∵　AD=BE ,CE=DE,
　　∴　Rt△ADE≌ Rt△BEC(HL).
　　(2)∵　Rt△ADE≌ Rt△BEC,
　　∴　∠AED=∠BCE.
　　∵　∠BCE+∠BEC=90°,
　　∴　∠AED+∠BEC=90°.
　　∴　∠CED=180°-90°=90°.
　　∴　△CED是直角三角形.
　　8. (1)90
　　(2)构造的命题为:已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且BC=CD,∠ABC=60°,若点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,连接AF,DE相交于G,则∠AGE=120°.
　　由已知,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且BC=DA,∠ABC=60°,
　　∴　∠ADC=∠C=120°.
　　∵　BC=CD,BE=CF,
　　∴　CE=DF.
　　在△DCE和△ADF中, 
　　∴　△DCE≌△ADF(SAS).
　　∴　∠CDE=∠DAF.
　　又　∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60°,
　　∴　∠CDE+∠AFD=60°.
　　∴　∠AGE=∠DGF=180°-(∠CDE+∠AFD)=180°-60°=120°.
　　1年预测
　　1. B　[解析]本题一方面考查学生的空间想象能力,另一方面还考查学生的动手操作能力.当学生的空间想象受到影响时,可借助动手实践,去拼一拼.答案为B.
　　2. D　[解析]熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键.
　　3. 7　[解析]主要考查等腰梯形性质、梯形辅助线作法,平移对角线,得到等腰直角三角形,再应用等腰直角三角形的性质,斜边上的高等于斜边的一半.
　　4. 3　[解析]延长DA至E,使DA=EA,连接CE交AB于P,这时PC+PD的和最小.根据作法有△PEA∽△PCB,EA∶BC=PA∶(AB-PA),解得PA=2,所以PB=3.
　　5. 答案不唯一.可供参考的有:①它内角的度数为60°,60°,120°,120°;②它的腰长等于上底长;③它的上底等于下底长的一半.
　　[解析]本题考查等腰梯形的性质.根据拼图易于求得内角度数,以及腰与上底相等的事实,然后借助常作的辅助线最终获得结论.另外用这样特殊的等腰梯形还可拼成等腰梯形、平行四边形等形状.
　　6. 作AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F.
　　∴　AE∥DF,∠AEF=90°.
　　∴　四边形AEFD是矩形.
　　∴　EF=AD=3,AE=DF.
　　∵　BD=CD,DF⊥BC,
　　∴　DF是△BDC中BC边上的中线.
　　∵　∠BDC=90°,